低武中武高武仙武超武洪荒玄武的完整划分

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又不知过了多少时候，有人怀着好奇心求教高人有关大山的情形。的确，如果这个世界上有谁能知道大山的本来面目，可能非此高人莫属了。高人将他看到的整个大山的全貌详尽做了描述，从高人口中，人们知道原来大山是如此巍峨，而风景又是多么美妙，但没有人听从高人的劝告和建议自己到大山深处和顶峰上看看，因为本地人谁也没有亲自上去过，所以大家仍然对高人的话半信半疑，再加上大山毕竟是太高峻、太险远了，没有人敢拿自己的生命去冒险。

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时光荏苒，终于有几个最聪明、最勇敢也最有毅力的年轻人想到大山深处探险，也想亲身体会一下无限风光在险峰的妙处，于是他们找到高人，请高人指点迷津。高人赞许的点点头，没有说话，但交给这几个年轻人一张地图，上面密密麻麻，像迷宫一样，可见大山是多么复杂艰险，最关键的是，根本就没有通往大山深处去的现成的道路。但几个年轻人毫不气馁，他们带上干粮和工具，怀揣着伟大的梦想踏上了探索大山之路。

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路途遥远之极，遥远到本地人几乎已经忘记了这几个年轻人是什么时候出发的，当然也很少有人再关注他们什么时候能回来；路途艰险之极，艰险到当这几个年轻人有一天真的回来时，身上的衣服全都破旧不堪，甚至可以说伤痕累累，但所有人的脸上都露着笑容，因为他们的确看到了高人所指示的壮丽风光一只 是他们再也不会见到高人了，高人已逝。

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年复一年，有智慧、有胆略的一代又一代人踏着最初几个年轻人的足迹到大山探险，他们和当初的几个年轻人一样领略到了大山的壮丽风景，只是他们不用再经历最初几个年轻人披荆斩棘、筚路蓝缕的艰辛了。

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又不知过了多少时候，一些好心人发愿要把原来泥泞难行的山路铺成更好走的石头路，以便让人们攀登起来更为轻松、方便。还是那句话，大山太高，路途太遥远，所以铺石头路付出了几代人的光阴一但 皇天不负苦心人，终于到了成功的那一天！这样，不仅年轻人，老人、小孩也可以攀上大山，去领略这世间难得一见的风景了。

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大山越来越声名远扬，最后，这里成了世界闻名的旅游胜地，每年都接待成千成万来自世界各地的客人。人们尽情的享受着大自然的美景，当年指路的高人、开辟山路的勇士和铺路的好心人再也没有人提起过。

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剧透一下：当年指路的高人就是哲学家，开辟山路的勇士就是数学家，铺路的好心人就是科学家，享受大自然美景的游人就是我们，我们可以不知道当年指路的高人、开辟山路的勇士和铺路的好心人究竟是谁，但我们必须知道，如果没有他们，大自然的美景就永远是可望而不可及的大山。

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数学与诗处于同一境界，当然海德格尔认为诗是与哲学同等境界的最高存在，柏拉图和黑格尔诚然都不把艺术置于人类文化的最高地位，但黑格尔至少在艺术领域也把诗视为最高境界。与诗在文化中的最高地位对应，实际上数学的真正地位并不只是科学的基础、典范乃至灵魂，而是科学的源头，数学就是以量的形式存在的哲学，德国大学的学科设置最能体现这一点，数学学科都从属于哲学系。

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有人可能要说，到此为止都不难理解啊，不错，这只是开胃小菜，当然好理解。我们真正要说的是，所有上述哲学家和数学家对于数学本质的认识虽然都是很深刻的，但与康托尔相比都相形见绌：数学的本质是自由。这句话是对数学本质的最高境界的理解和最透彻的诠释，而且我们可以说，康托尔是第一个把无限和自由打通的数学家，是真正实现了莱布尼兹说的人类理性的两大终极问题无限与自由的一体化的绝顶高手。在西方数学界意义上说，如果数学是一个闯关游戏，各关把守的不同层级的怪物是数学家，显然欧拉、高斯、牛顿、阿基米德、希尔伯特、哥德尔等都是最后几关的大魔王，而康托尔无疑就是关底的大Boss，只有杀死他才能在数学游戏中通关。

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数学上有两种无穷，潜无穷和实无穷，所谓潜无穷，就是从有限的起点开始无止境展开的无穷，这种无穷永远都处于完成的过程之中，最典型的例子就是自然数，已经现存的或已经完成了的无穷就是实无穷，比如按照通常意义上排列着的整数序列。包括哲学大师亚里士多德和数学王子高斯在内，在西方科学史尤其是数学史上，我们可以看到，几乎所有的数学家都否认实无穷的存在，而只承认潜无穷的真实性，亚里士多德在《物理学》一书中明确表示“无穷大是一个潜在的存在，实无穷将不存在”，高斯也说得很明白“无穷大只不过是一种讲话方式，意味着一种极限，当允许某些变量无限增长时，一些特定的量可以任意逼近该极限”，显然高斯这里的意思与亚里士多德的意思等价，只承认了潜无穷的存在。如果追本溯源，西方哲学界与数学界对于实无限的排斥，与希腊的公理化方法本质相通，因为公理化方法的要义是，用尽可能少的公理导出尽可能多的定理和结论，而不是从无限出发解决有关有限的问题，对于希腊数学家来说，只有有限的东西才具有确定性，即使是最不确定的无限，最好也要建立在有限的基础上或通过有限来逼近，于是在骨子里，只能承认潜无限的存在，但至少有一点，正如数学上另一高境界原理哥德尔不完备性定理揭示的，公理系统要证明自己的相容性，只能靠不断加入越来越多的新公理，从而建立一个扩展版、加强版的公理系统，而且这个过程是无穷的，虽然显然这是个潜无限过程，但希腊人认为的“只有有限的才是确定的”这个理念事实上最终证明的是自己的反面，更大的有限比小的有限更有确定性，故从公理化系统无限发展的最终趋势上说，无限比有限更具有确定性，也更完备，理想很丰满，现实很骨感，在公理化方法这里，得到了典型的验证。与此相关的一点是，希腊人对于几何的偏爱和对代数的排斥也是导致他们排斥无限的原因，代数具有更大的一般性，但希腊人没有真正掌握代数法则，于是在希腊人眼中，只有可以几何化或建立在几何基础上的数学才是严格的、真正的数学，现在我们还会找到这种遗迹，如代数上的二次方被称为平方，这实际上是一个几何概念，来自平面、面积，三次方被称为立方，来自三维空间、体积，你马上就可以想到，这样的话，更高维度的次方≥4次方的所有代数方程在希腊人的公理系统中无法找到对应的几何实体，因为我们在三维世界中无法做出更高维度的真实几何图形，如此，所有高次方程都是不存在或不可理解的，不容易直接看出来但可以推理出来的结论是，超越数是无法尺规作图的，所以在希腊人的数学体系中，超越数也是不存在的，更明显的例子是诸如根2这样可以尺规作图的无理数最初都没有得到承认，希腊人的这种理解数学的方式很自然地把数学研究束缚在有限的层次，所以希腊时代著名的三大几何问题立方倍积、化圆为方和三等分角由于都涉及到无限，对于希腊数学来说都是不可能解决的难题，三大问题实际上向人们显示了有限数学的局限性，反过来也指示了无限数学的合理性。康托尔只用一招就将西方几乎所有数学家、逻辑学家和哲学家团灭，基本无人幸免，只有西方哲学界的精神导师、灵魂级终极大Boss柏拉图和黑格尔与康托尔站在一条战线上，不过有他们两位上位面强者力挺，一切都不是问题了，由此也可以看出，在无限的本质问题这个哲学和数学的终极照妖镜面前，所有哲学家和数学家都现了原形，只有柏拉图和黑格尔保持不败金身，犹如封神演义中通天教主的六魂幡发动之下，老子现塔，原始天尊现庆云，准提道人与接引道人现舍利子保护其身，其余诸人早就会灰飞烟灭了。康托尔指出：只要把通常的整数序列按照如下新的但完全等价的方式重新排列，则所谓潜无限和实无限的区别将没有任何意义——0，1，—1，2，—2，3，—3…。这一点太显而易见了，让人难以置信：像亚里士多德、牛顿、高斯等这些高维生物怎么会想不到？应该是被上天封印了，人类的智慧进化必须不超过道德的进化，否则人类会自取灭亡。康托尔指出的下一点更明显：否认实无穷就意味着否认无理数的存在，因为无理数的任何有限位数的逼近都是有理数，而毫无疑问，无理数是已经真实存在的数而非潜在的数。不仅如此，当康托尔证明潜无穷实际上依赖于一个在逻辑上优先的实无穷时，他已经彻底超越了数学的境界。其真义为：所谓潜无穷实际上只是实无穷的逐步展示，那个“潜”着的东西并非别物，就是实无穷，因为只有本性上无穷的东西才能无穷的展开，所以任何潜无穷都是当我们用有限的方式去把握实无穷的时候的一种结果，从无穷本身的角度来看，只存在一种无穷那就是实无穷，从来就没有所谓的潜无穷，因为潜无穷只是有限化了的或在有限视野中所呈现出来的实无穷。对于无限问题来说，最关键的一点就是我们首先要明白，无限问题不是已经完成或正在完成或永远处于完成之中的问题，而是它已经存在于那里而且永恒不变的问题——我们如何数自然数，我们数自然数数到什么程度，乃至于我们可以把自然数无限的数下去，也就是通常所谓的潜无穷，所有这些都不会改变下列事实：自然数的无穷序列这个整体本身永远没有发生任何变化，既不增加丝毫，也不减少丝毫，“复坏复何成？”，所以你完全可以说无限本身就是佛性。康托尔深入宇宙最极秘密之地无限的殿堂之中，靠的是一个简单到极致的最基本的思想，所谓大道至简，这个伟大的思想实际上我们每个人在学习初等数学学到函数时就已经学过了，也就是一一对应，只是我们没有像康托尔如此透彻地理解和应用这个思想。康托尔指出，只要一个集合所包含的元素能与另一个集合所包含的元素之间建立一一对应，则两个无限集合相等——这在有限集合上是显然的，但进入无限的领域，连高斯和亚里士多德都会折戟沉沙，更遑论其他数学家了。如此可以得到违反直觉的惊人结论，如：直线上的点与一个平面上的点一一对应。事实上，只要将直线上一个点的坐标（以0-1区间为例）O.abcdefgh···分解为奇数位的0.aceg···和偶数位的o.bdfh···，则直线上的点就与一个平面上的点一一对应。而只要将直线上一个点的坐标O.abcdefgh···按照第3N位、第3N+1位和第3N+2位分解，则直线上的点就与一个立体上的点一一对应，以此类推，一条直线上的点与4维、5维……N维空间中的点一一对应。同样还可以证明，一个线段上的点与一个直线上的点一一对应，一个有限平面上的点与一个无限大平面上的点一一对应，一个有限立体中的点与一个无限大空间中的点一一对应，如此以至于无穷，所以，任意小的线段上的点的个数与无穷大的n维宇宙中的点的个数一一对应，这太不可思议了，故即使康托尔自己已经做出了证明，仍然惊呼：我看到了它，但我却不相信它！先哲讲“一粒沙子包含着整个世界”，的确不假，事实上，在集合论中，所谓无限集合，就是整个集合的一切元素可与自己的真子集的元素建立一一对应关系的集合。自然数集合与整数集合、奇数集合和偶数集合相等，因为它们能建立一一对应关系，甚至稠密的有理数集合也可以与自然数集合建立一一对应关系，通常我们也许认为无法做到这样，因为有理数集合与整数集合等不同，在两个相邻的整数之间不存在其他整数，但在任意近的两个有理数之间却可以存在无数个有理数。其实只要我们按照n/1，n/2，n/3···的方式排列，则由于有理数的通项公式为m/n，故如此已经毫无遗漏的穷举所有有理数，按照康托尔的对角线方法重新排列上述有理数集合，同时只要将重复的去掉，则自然数序列必定与有理数序列一一对应。但自然数集合与实数集合并不相等也就是两者的元素之间并不一一对应，因为我们只要在0-1之间构造一个所有实数的集合R1=0.ABCD···，R2=0.EFGH···，R3=0.IJKL···，再构造一个实数RX，其中其第一位与R1不同，第二位与R2不同，第三位与R3不同···，则一方面RX必定在0-1之间，但这个实数不与任何自然数对应，则说明实数比自然数更多，属于更高级的无穷大。康托尔按照“所有子集的集合所构成的集合”的方法构造下去，更高的无穷集合可以任意、无穷产生出来。事实上，如果我们将自然数的个数记为N,而将实数的个数记为A,实数的幂集的个数记为B, 实数的幂集的幂集的个数记为C，则A=2N,B=2A，C=2B···,如此以至于无穷，于是我们将得到一个无穷多层次的无穷序列：阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2、阿列夫3……微积分中的无穷大∞，因为要么是实数轴的“终点”，或平面上的所有点集或立体空间中的所有点集乃至任意维度超级空间中的所有点集，这些都是一个层次的无限，其实都是，近代数学所处理的无非就是各种各样的函数，也就是阿列夫2，也可以说，近代数学都没有跳出阿列夫2的范围，阿列夫2就是近代数学的“三界”。这个无穷多层次的无穷序列既然都能够从最基本的无穷层次按照“所有子集的集合所构成的集合”的方法构造下去，那么我们可以认为无穷多的无穷层次全部潜含于最基本的无穷层次之中，这也是一种全息性，如果说前面的一种全息性是静态的全息性，那么这一种全息性可称为动态的全息性。

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从第一阶无限即自然数集合开始按照集合的幂集、幂集的幂集、幂集的幂集的幂集等等无穷产生出来的无穷多层次的无穷，也就是康托尔所说的超限，意思是不是绝对无限的一切层次的无限，而超越任何超限的绝对无穷，康托尔称之为Ω，希腊字母表最后一个字母，它不是一切超限数无穷世界的大全整体，而是这个大全整体之上的境界，康托尔认为这就是对于上帝的数学表达，就是哲学上所说的绝对、终极、无上，印度哲学称之为梵，佛学称之为真如，中国哲学称之为道，古希腊哲学称之为逻各斯，漫威宇宙中称TOAA，与上帝名异而实同，实际上是大全整体、漫威宇宙中称全能宇宙的终极根据。实际上到达这里，已经进入宗教或哲学的领域——康托尔本人也的确曾在柏林大学攻读过神学——绝对无限Ω无法以上述数学的方式构造出来，按集合论术语说是不可达的，Ω对于数学来说是不可思议、超言绝相的。不仅数学，还有物理学，以及化学、生物学、地理学、生态学、医学、心理学，乃至一切学科，最终都将指向这个Ω，而且应该说都是这个Ω本尊的一个分身、化身，也就是任何无限都共享绝对无限的一切特性，按柏拉图哲学说，分有绝对无限，相当于天台宗的性具或密乘法的理具或禅宗的顿超一切、本来即佛，这毫无疑问是最纯正最透彻的哲学境界，绝对无限的确是不可达的，那仅仅是因为它本来就存在于一切层次之中。一是站在潜无限的意义上从第一阶无限开始从下到上无限构造、产生出无穷层次的无限序列，一是站在实无限意义上从上到下无限而完全共享、映现一切特性于一切层次的超限数之中，典型的两头堵！按照潜无限来理解Ω，从第一阶可数无限开始，无法达到一个现实存在的最高无限，但按照实无限来理解Ω，最高无限是已经实存、永恒不变的。或者说，集合论中不存在或不能存在一切集合的集合或最大的集合，否则会导致悖论，因为总是有更高层次的集合如：此集合的幂集，所以Ω并不是最大的超限数，而是在一切超限数之上的超越超限数，非超限数。实际上，Ω的本质也不是康托尔所理解的超越一切超限的绝对无限，而是无限本体本身，犹如自然数集合本身，自然数集合本身并不是这个集合中的任何自然数，但任何自然数都是自然数集合中的一个元素，就潜无限意义上，并不存在最大的自然数N，因为总是可以在此基础上加1：N+1，但在实无限意义上，必定存在着一切自然数当然也包括最大的自然数，最大的自然数并不比诸如1、2、3这样常见的自然数更不真实或更真实，或更特殊，所有自然数都是平等的，同时自然数集合本身是真实存在、已经存在、本来就存在的，此处并没有任何悖论，因为并不存在一切自然数组成的一个自然数，由一切自然数组成的是自然数集合，是更高层次的、另一种意义上的存在，并不是一个自然数，故Ω的真义是：Ω的确不是任何一种层次的无限，而是一切层次的无限的大全整体或无限的本体、无限本尊，无限本尊不是任何层次的无限，但任何层次的无限都是无限本尊的特定存在方式、分身和缩影，故一切层次的无限之间互具互摄、互相映现。站在Ω本尊的角度说，就不是哥德尔不完备性定理或诺特定理或能量转化与守恒定律或任何一个定理了，而是一真法界宇宙大全整体、永恒圆满佛性绝对完备并无所不在原理，也只有在这种最终极的意义上，一切学问之间才会互相通达、互具互摄，一花一世界、一叶一如来，完美无缺，美妙至极。  

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理解了康托尔无限集合论，下面我们来看一个问题：π是否包含了所有的数字组合？ 先看刘维尔数：0.101001000100001000001… 这是人工构造出来的第一个超越数，故以其构造者数学家刘维尔的名字命名，当然，也许更应该说是刘维尔首先发现了这个数，因为这个数本来就存在，只是第一个显现在刘维尔的脑海中，被刘维尔捕捉到了。广义上，刘维尔数是指所有超越数，此处刘维尔数特指上述这个唯一的数，这是一个无限不循环小数，显然刘维尔数不可能包含所有的数字组合，因为它只有0和1两个数字。 考虑命题：π的展开式即数字组成中是否包含了刘维尔数？ 如果你足够聪明，应该不用我进一步说了。 据说数学家最常用的三个词是，显然，易证，不难得出，不过都不如这句话有杀伤力，而且是绝杀：答案略。 考虑到绝大多数人都是一般人，所以还是说一下。 显然有两种可能：包含或不包含。 如果包含，显然π不可能包含所有数字组合，因为刘维尔数也是无限的，一旦它在π中出现，从它出现时起，就占据了之后的所有数字，不会再有新的数字组合出现，但刘维尔数不能包含所有数字组合，所以π也不可能包含所有数字组合。 还有一种可能就是π中不包含刘维尔数，好，结论直接得证。 所以，无论π中是否包含刘维尔数，它必定不可能包含所有的数字组合。 当然第一步有这样一个问题（并非漏洞）需要说明：刘维尔数在π中出现之前，π中已经出现的数字是不是有可能包含了（当然严格说是除刘维尔数之外的）所有的数字组合？ 事实上答案可以绝对确定是否定的，因为π的展开式是一个潜无限，根据潜无限的本质特征，则：当刘维尔数在π中出现时，无论当时刘维尔数开始出现时所占的位次数有多么巨大，此位次数必定是有限的，而有限的数字序列不可能包含无限多种乃至所有的数字组合。

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上述证明也许并不是最严格的。

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事实上，不仅是π，应该说任何一个无限不循环小数、任何一个实数都不可能包含着所有的数字组合，因为任何一个实数（按最复杂的无限不循环小数来说），其展开式的位数正好一一对应于1，2，3，4，5…等自然数序列，也就是有N位数，而所有可能的数字组合等价于实数集合，自然数序列是可数集合，任何一个无限不循环小数所有数字能组成的数字组合数是（N2—N）/2减去重复组合数，这个数怎么得出来的呢？显然，对于一个有N位的实数来说，从第一位数开始的数字组合总数为N，注意这个“组合”与通常意义上的排列组合不同，不能任意进行，而是必须从第一位依次往下排，从第二位数开始的数字组合总数为N—1，从第三位数开始的数字组合总数为N—2…，所有位数字的组合总数为N+（N—1）+（N—2）+…，再减去重复者，重复者无论多少，都不会改变任何一个无限不循环小数所有数字能组成的数字组合数的无限层级，这个无限是比不可数的实数总数更低层级的无限，当然下一层级的无限无法包含更高一级的无限，事实上，前者在后者面前等于零。 也可以这样理解：所有的数字组合和任何一个实数包含的数字组合都有N位数，在任何一位数上，所有的数字组合数都是10个，而任何一个实数包含的数字组合数只有一个——因为任何一个实数的每一位数都是定死的，故所有位数的数字组合总数为10N，任何一个实数包含的组合总数为（N2—N）/2—重复组合数，前者实际上也＝2N，也就是实数的个数，后者则＝N，也就是自然数的个数，故所有数字组合数与任何一个实数包含的数字组合数之比为2N：N。

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这个理解上更严格。科学记数法无法表示。